二叉树与多路树(B树)

/ lukelee

二叉树与多路树(B树)

算法复杂度

二叉查找树（BST）

  1. 左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值。

  2. 右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值。

  3. 左、右子树也分别为二叉排序树。

    查找结点里面的值 的方式就是二分查找的思想 查找次数就是树的高度，查找的时间复杂度为 O（logn）。

    极端情况时，二叉查找树已经近似退化为一条链表，其查找的时间复杂度为 O(n)，故而引入平衡二叉树解决问题。

平衡二叉树（AVL Tree）

  1. 具有二叉查找树的全部特性。

  2. 每个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1。

对于有 n 个节点的平衡树，最坏的查找时间复杂度也为 O(logn)。

  • 缺点：

    ​ 因为平衡树要求每个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1，这个要求实在是太严了，导致每次进行插入/删除节点的时候，几乎都会破坏平衡树的第二个规则，进而我们都需要通过左旋和右旋来进行调整，使之再次成为一颗符合要求的平衡树。

​ 在那种插入、删除很频繁的场景中，平衡树需要频繁着进行调整，这会使平衡树的性能大打折扣，故而引入红黑树解决问题。

红黑树

  1. 节点是红色或黑色。

  2. 根节点是黑色。

  3. 每个叶子节点都是黑色的空节点（是指为空(NIL或NULL)的叶子节点， 最底部）。

  4. 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

  5. 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

红黑树是一种平衡树，他复杂的定义和规则都是为了保证树的平衡性。

JAVA中使用到红黑树的有TreeSet和JDK1.8的HashMap。

B树

​ B-tree树即B树，B即Balanced，平衡的意思。因为B树的原英文名称为B-tree，而国内很多人喜欢把B-tree译作B-树，其实，这是个非常不好的直译，很容易让人产生误解。如人们可能会以为B-树是一种树，而B树又是另一种树。而事实上是，B-tree就是指的B树。

B树(B-树)是一种多路搜索树（并不是二叉的）：

  1. 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；
  2. 根结点的儿子数为[2, M]；
  3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；
  4. 每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）
  5. 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；
  6. 非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
  7. 非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；

  8. 所有叶子结点位于同一层；

    如：（M=3）

​ B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；

B-树的特性：

  1. 关键字集合分布在整颗树中；
  2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
  3. 搜索有可能在非叶子结点结束；
  4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；
  5. 自动层次控制；

  1. 由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的利用率；

  2. 所以B-树的性能等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；

  3. 由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并；

使用场景

  1. 为什么要用B树，红黑树不是就挺好的么？ B树和二叉树、红黑树相比较，子树更多也就是路数越多，子树月多表示数的高度越低，搜索效率越高，当然如果路数太多就可能变成一个有序数组了。所以当然不可能使得路数无限大。

    ​ 正因为文件系统和数据库一般都是存在电脑硬盘上的，如果数据量太大的话不一定能一次性加载到内存中。（一棵树不能一次性加载完怎么查找对吧？）但是B树可以多路存储。也正因为B树的这一个优点，可以在文件查找的时候每次只加载一个节点的内容存入内存来查找。而红黑树在内存中查找非常块，但是如果在数据库和文件系统中，显然B树更优。

B+树

B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树，其定义基本与B-树同，除了：

  1. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
  2. 非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；
  3. 为所有叶子结点增加一个链指针；
  4. 所有关键字都在叶子结点出现；

​ B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

B+的特性：

  1. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；
  2. 不可能在非叶子结点命中；
  3. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；
  4. 更适合文件索引系统；

使用场景：

​ B+ 树通常用于数据库和操作系统的文件系统中。NTFS, ReiserFS, NSS, XFS, JFS, ReFS 和BFS等文件系统都在使用B+树作为元数据索引。B+ 树的特点是能够保持数据稳定有序，其插入与修改拥有较稳定的对数时间复杂度。B+ 树元素自底向上插入。

B*树

​ 是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；

​ B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；

B+变体原因:

  • B+树的分裂：

    • 当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；

    • B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；
  • B*树的分裂：
    • 当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；
    • 如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

多路树对比

小结

  • 二叉搜索树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；

  • B树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；B-树是一种平衡的多路查找(又称排序)树，在文件系统中有所应用。主要用作文件的索引。其中的B就表示平衡(Balance)；

  • B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；B+树有一个最大的好处，方便扫库，B树必须用中序遍历的方法按序扫库，而B+树直接从叶子结点挨个扫一遍就完了。B+树支持range-query(区间查询)非常方便，而B树不支持。这是数据库选用B+树的最主要原因。

  • B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3；

简而言之:

B-tree：有序数组+平衡多叉树；

B+-tree：有序数组链表+平衡多叉树；

B*-tree：一棵丰满的B+-tree。